Vieillit-on moins vite près d’un trou noir et au centre de la Terre ?

Explication

Oui, dans des comparaisons bien définies, une horloge plus profondément située dans un puits gravitationnel accumule moins de temps. Près de la Terre, l’écart est minuscule. Près de l’horizon d’un trou noir, il peut devenir très grand. Il faut toujours préciser les deux positions et les trajectoires comparées.

On compare deux horloges identiques, en tenant compte de l’acheminement de leurs signaux.
On place l’une plus haut que l’autre et on les maintient à des positions fixes.
Dans le cas terrestre ordinaire, l’horloge la plus haute prend progressivement de l’avance.

Une personne accompagnant chaque horloge ressentirait normalement son propre temps. À conditions biologiques comparables, moins de durée propre signifie moins de temps disponible pour les processus du corps. Cela n’est ni un rajeunissement ni une sensation locale de ralenti. Le vieillissement biologique dépend aussi du milieu ; les calculs ci-dessous comparent d’abord des horloges idéales.

Une horloge à un centimètre au-dessus du sol

Comparée à une horloge identique restée au niveau du sol, elle avance d’environ 34,4 picosecondes par an : une picoseconde est un millionième de millionième de seconde. C’est aussi 94,3 femtosecondes par jour. Il ne s’agit pas d’une accélération continue de son rythme : à hauteur fixe, le petit écart de rythme reste pratiquement constant et l’avance s’accumule.

Ce nombre est notre calcul pour une pesanteur locale de 9,81 m/s². L’effet gravitationnel est mesuré : Bothwell et ses collègues, en 2022, ont résolu des différences de fréquence à travers un échantillon atomique de taille millimétrique. Une horloge optique est une horloge atomique utilisant une transition à fréquence optique ; toute horloge atomique ordinaire n’atteint pas cette précision.

Au centre terrestre : le piège de la force nulle

Au centre d’une Terre idéale sphérique, les attractions se compensent : l’accélération gravitationnelle nette est nulle. Pourtant, le potentiel gravitationnel y est plus bas qu’à la surface. Une horloge centrale accumule donc moins de temps. La force locale indique la pente du potentiel, pas sa profondeur. Une vallée peut avoir un fond plat tout en se trouvant bien plus bas que ses bords.

Le noyau est une région étendue : le nombre cité pour le centre exact ne s’applique pas identiquement à tout le noyau. Plus on descend dans le modèle sphérique stationnaire, plus l’horloge retarde par rapport à la surface. La force de pesanteur, elle, ne croît pas continuellement jusqu’au centre.

L’étude d’Uggerhøj, Mikkelsen et Faye (2016) donne 2,49 ans d’écart entre centre et surface en extrapolant un modèle de structure terrestre sur 4,54 milliards d’années. C’est une estimation théorique, pas une mesure de deux horloges anciennes. La même extrapolation représente 1,38 seconde sur 80 ans. Elle ne signifie pas que les roches du noyau se seraient formées deux ans et demi après celles de la croûte.

Près d’un trou noir : un effet potentiellement beaucoup plus grand

Considérons un trou noir sans rotation et une horloge maintenue à une position fixe à l’extérieur. À une distance du centre égale aux quatre tiers du rayon de l’horizon, elle compte 30 minutes pendant qu’une horloge très lointaine en compte 60. Localement, ces 30 minutes sont ordinaires. Ce scénario impose toutefois un maintien par poussée ; ce n’est pas une orbite libre stable.

À mesure que la position fixe se rapproche de l’horizon, la poussée nécessaire devient sans borne dans ce modèle. On ne peut pas poser une horloge immobile sur l’horizon. Un observateur qui tombe suit une autre trajectoire et peut franchir l’horizon en un temps propre fini. Le gel apparent de ses derniers signaux pour un observateur lointain ne signifie pas que son temps personnel s’arrête.

Analyse détaillée

Ce que la relativité générale ajoute

La relativité générale, formulée par Einstein en 1915 et exposée dans son article de synthèse de 1916, relie la géométrie de l’espace-temps au contenu en énergie, impulsion et contraintes. Dans la forme incluant la constante cosmologique :

$$G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}.$$

Le membre de gauche décrit la géométrie, celui de droite le contenu physique qui y contribue. Les horloges mesurent la longueur temporelle de leur trajectoire dans cette géométrie. Parler seulement d’une « force qui ralentit tout » masque cette structure.

Champ faible et petites hauteurs

Dans un champ faible et stationnaire, à faibles vitesses, avec un potentiel newtonien Φ nul à l’infini :

$$\frac{d\tau}{dt}\simeq1+\frac{\Phi}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2}.$$

Pour deux horloges maintenues à proximité l’une de l’autre, une petite différence de hauteur Δh donne, au premier ordre, $\Delta\Phi\simeq g\Delta h$. D’où :

$$\frac{\Delta f}{f}\simeq\frac{g\Delta h}{c^2}.$$

Pour Δh = 0,01 m, cela donne 1,09 × 10⁻¹⁸. Multiplié par les secondes d’une année de 365,25 jours, on retrouve 34,4 picosecondes. Sur un mètre, l’avance vaut environ 3,44 nanosecondes par an ; sur un kilomètre, 3,44 microsecondes par an dans l’approximation à g constant. Les vitesses, la rotation terrestre et les variations du potentiel demandent des corrections dans une comparaison précise.

Pourquoi la formule extérieure ne convient pas au centre de la Terre

À l’intérieur, la matière située plus loin que l’horloge contribue encore au potentiel, même lorsque sa force nette s’annule par symétrie. On ne doit donc pas prolonger $-GM/r$ jusqu’à r = 0 en mettant toute la masse terrestre au centre. Pour une sphère homogène de rayon R :

$$\Phi(r)=-\frac{GM}{2R}\left(3-\frac{r^2}{R^2}\right),\qquad 0\leq r\leq R.$$ $$\Phi(R)-\Phi(0)=\frac{GM}{2R},\qquad \frac{\tau_{\rm surface}-\tau_{\rm centre}}{\tau_{\rm surface}}\simeq\frac{GM}{2Rc^2}.$$

Avec le rayon terrestre arrondi à 6 371 km, notre calcul homogène donne 1,58 ans sur la durée géologique choisie, ou 0,88 seconde sur 80 ans. Le résultat publié avec le profil de densité PREM, 2,49 ans, tient compte d’un centre plus dense. Nous citons ce résultat et exécutons sa conversion temporelle ; nous n’avons pas refait l’intégration de PREM.

Le retard d’une horloge augmente en allant de la surface au centre. Courbe calculée pour une Terre homogène et point central séparé issu de la valeur PREM publiée. — Calcul de sphère homogène ; point PREM converti depuis Uggerhøj et al. (2016). La durée de référence de 80 ans appartient à l’horloge de surface. Les deux estimations supposent une structure stationnaire.

Le résultat géologique ne retrace pas toute l’accrétion, la différenciation et l’évolution de la planète. Pour une histoire exacte, il faudrait intégrer le potentiel et le mouvement au cours du temps. Aucun organisme ne pourrait séjourner au centre terrestre : la comparaison porte sur la durée propre d’horloges idéales, indépendamment de cette impossibilité matérielle.

La comparaison de Schwarzschild

Le rayon de l’horizon d’un trou noir sphérique, non chargé et sans rotation est $r_s=2GM/c^2$. Pour dix masses solaires nominales, notre calcul donne 29,53 km. Le rayon r utilisé ici est défini par l’aire $4\pi r^2$ des sphères : sa différence avec r_s n’est pas directement une distance radiale mesurée à la règle.

À une position fixe, pour $r>r_s$, la durée comparée au temps d’une horloge statique à l’infini satisfait :

$$\frac{d\tau}{dt}=\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}.$$

Horloge maintenue à rayon fixe : durée locale pendant 60 minutes très loin du trou noir.
Rayon depuis le centre	Minutes locales
10 r_s	56,92
3 r_s	48,99
2 r_s	42,43
4 r_s / 3	30
1,01 r_s	5,97

Ces chiffres sont des prédictions dans un modèle idéal. Ils ne suffisent pas à proposer un séjour réalisable : poussée, forces de marée, rayonnement environnant et trajet aller-retour doivent aussi être considérés.

Une orbite n’est pas un maintien statique

Pour une orbite circulaire géodésique dans le même espace-temps :

$$\frac{d\tau}{dt}=\sqrt{1-\frac{3r_s}{2r}}.$$

Les orbites circulaires stables commencent à $r=3r_s$, avec stabilité marginale à cette limite. Le rapport vaut alors 0,707, au lieu d’environ 0,816 pour une horloge statique au même rayon. Le mouvement orbital contribue donc réellement à la différence. Les trous noirs en rotation demandent une autre géométrie et une spécification du sens de l’orbite.

Comparaison des rythmes d’horloges statiques et sur orbites circulaires stables. La courbe orbitale commence à trois rayons d’horizon ; aucune horloge statique n’est définie sur l’horizon. — Calculs dans la solution de Schwarzschild. Le point à 3 r_s indique l’orbite circulaire marginalement stable. La limite de la courbe statique vers l’horizon ne représente pas une horloge qui pourrait y rester immobile.

Ce qui est testé, et ce qui reste extrapolé

Les horloges optiques testent directement les écarts de rythme dans le champ terrestre. Près du centre galactique, GRAVITY a observé dans la lumière de l’étoile S2 un signal combinant décalage gravitationnel et Doppler transverse, compatible avec la relativité générale. Ce n’est pas une mesure isolée de la composante gravitationnelle ni une observation à l’horizon.

La détection GW150914 teste une autre prédiction : les ondes gravitationnelles d’une fusion de trous noirs. Ces réussites ne nous donnent pas accès à la singularité intérieure. La distinction est développée dans l’étude sur Hawking et les limites des théories.