aeternam

Les démonstrations du « oui » tiennent-elles ?

Verdict

Non. Aucune des démonstrations examinées n’établit que nous vivons dans une simulation : la plus récente repose sur une erreur mathématique vérifiable, la dérivation thermodynamique de 2023 sur une égalité qui ne vaut pas pour les transformations réelles, et sa réparation de 2025 sur des hypothèses non démontrées.

Ce « non » porte sur ces démonstrations, pas sur l’hypothèse elle-même. Qu’un raisonnement échoue ne prouve pas que la simulation est impossible ; cela montre seulement que ces articles ne la rendent pas plus probable. Les travaux de Campbell et de Wolpert, souvent cités dans le même sens, ne prétendent d’ailleurs pas l’établir : les premiers proposent des expériences, le second démontre une possibilité logique.

Explication

Melvin Vopson, physicien à l’université de Portsmouth, défend depuis 2022 une « seconde loi de l’infodynamique » : dans tout système qui porte de l’information, le désordre de cette information ne pourrait que rester stable ou diminuer. Il y voit la marque d’un univers qui, comme un ordinateur, économise ses ressources, donc un indice en faveur de la simulation. Nous avons repris trois de ses démonstrations.

La première, publiée en mai 2026, veut prouver qu’un système atteint son désordre le plus faible quand toutes ses pièces se répètent le même nombre de fois. C’est l’inverse qui est vrai. Prenons six objets de deux sortes. Trois et trois, c’est la répartition la plus mélangée possible, donc la plus imprévisible ; cinq et un, c’est la plus ordonnée, car on devine presque à coup sûr la sorte d’un objet pris au hasard. Le calcul exact le confirme dans chacun des cas que nous avons passés en revue, sans exception. L’article reconnaît d’ailleurs, quelques lignes plus haut, que la répartition égale donne le désordre maximal. Ses exemples de polygones (le carré « plus ordonné » que le quadrilatère quelconque) restent justes, mais pour une autre raison, que nous démontrons, et qui ne dit rien d’une loi générale.

La deuxième, publiée en 2023, part d’un fait admis : l’univers n’échange de chaleur avec rien. Vopson en tirait que son désordre total ne peut pas changer ; comme le désordre physique augmente, il fallait qu’autre chose, l’information, compense en diminuant. Or l’absence d’échange de chaleur n’empêche pas le désordre de croître. Un gaz enfermé dans une boîte isolée, qui s’échappe d’un coup dans une moitié vide, ne reçoit ni chaleur ni travail, et pourtant son désordre augmente d’une quantité que tout manuel calcule. Vopson l’a reconnu en 2025.

La troisième est sa réparation de 2025. Elle ajoute des termes de pertes et conclut de nouveau que le désordre de l’information diminue. Mais la conclusion ne sort pas du calcul : elle vient d’hypothèses posées en chemin (les pertes diminuent avec le temps, la température de l’univers est constante), que l’article affirme sans les établir, et dont l’une contredit une phrase du même texte, où la température « doit décroître ». Le calcul lui-même, fait correctement, laisse le résultat indéterminé.

Enfin, on lit souvent qu’un univers qui « compresse » l’information trahirait un ordinateur soucieux d’économie. Trois choses différentes se mélangent là. Qu’une quantité diminue n’implique pas qu’il y ait compression. Qu’il existe une compression n’implique pas qu’un calculateur l’ait voulue : une compression parfaite ne change d’ailleurs rien à la quantité d’information transmise, elle l’écrit seulement plus court. Et seule une compression qui perd de l’information la réduit vraiment.

Analyse détaillée

1. Le lemme de Vopson (2026) : un maximum pris pour un minimum

Vopson (Entropy 28, 564, 18 mai 2026, section 2) considère \(N\) éléments répartis en \(n\) catégories de multiplicités \(g_i \ge 1\), avec \(\sum_i g_i = N\) (équation 3), et l’entropie (équation 5)

$$ I(g) = \log_2 N - \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{n} g_i \log_2 g_i . $$

C’est exactement l’entropie de Shannon de la loi \(p_i = g_i/N\) : \(I = -\sum_i p_i \log_2 p_i\) (ses équations 2 et 4). Il cherche le minimum de \(I\) à \(N\) fixé, pose \(f = \frac1N\sum g_i \log_2 g_i\) (équation 6), écrit que « le minimum de I est obtenu quand [f] est maximal », puis annule la dérivée du lagrangien \(L = f - \lambda(\sum g_i - N)\) et obtient \(g_i = N/n\) (équation 14). Il conclut : « quand n ≠ 1, l’entropie informationnelle minimale est non nulle et la condition est donnée par (14) », et, dans le résumé comme dans la conclusion, que la configuration d’entropie minimale est celle des multiplicités égales.

Le point stationnaire est un maximum. Sur l’ensemble admissible \(\{g \in \mathbb{R}_{>0}^n : \sum g_i = N\}\), avec \(N\) constant,

$$ \frac{\partial I}{\partial g_i} = -\frac{1}{N}\left(\log_2 g_i + \frac{1}{\ln 2}\right), \qquad \frac{\partial^2 I}{\partial g_i\,\partial g_j} = -\frac{\delta_{ij}}{N \ln 2 \; g_i}. $$

La hessienne est diagonale à termes strictement négatifs, donc définie négative : pour toute direction admissible \(d \ne 0\) (\(\sum d_i = 0\)), \(d^{\mathsf T} \nabla^2 I \, d = -\sum_i d_i^2/(N\ln 2\, g_i) \lt 0\). \(I\) est strictement concave sur un ensemble convexe ; son unique point stationnaire, qui est bien \(g_i = N/n\) (le gradient y est proportionnel à \((1,\dots,1)\), donc orthogonal à la contrainte), est son maximum global, qui vaut \(\log_2 n\). La méthode de Lagrange ne distingue pas un maximum d’un minimum ; c’est la condition du second ordre qui tranche, et elle n’est pas examinée dans l’article. L’étape « minimum de I ⇔ maximum de f » est juste ; l’erreur est de prendre le point stationnaire de \(f\), qui est convexe, pour son maximum, alors que c’est son minimum.

L’article écrit lui-même, dans la même section, que « la maximisation de l’entropie de Shannon pour des lois de probabilité uniformes est un résultat bien établi ». Or, à \(N\) et \(n\) fixés, multiplicités égales et loi uniforme sont la même chose : le lemme contredit le résultat que l’article rappelle.

Contre-exemple. \(N = 6\), \(n = 2\) :

La répartition égale donne la plus grande valeur, pas la plus petite.

Énumération exhaustive. Pour \(N\) de 2 à 15 et \(n\) de 2 à \(\min(5, N)\), soit 50 cas et 4 928 compositions examinées une à une, le maximum de \(I\) est atteint par la répartition la plus égale \((\lceil N/n\rceil, \dots, \lfloor N/n\rfloor)\) et le minimum par \((N-n+1, 1, \dots, 1)\). Sur les 42 cas où toutes les compositions n’ont pas la même entropie, la répartition la plus égale est le maximum dans 42 et le minimum dans 0. Le vrai minimum à \(N\) et \(n\) fixés est donc la répartition la plus déséquilibrée ; à \(N\) seul fixé, c’est \(n = 1\), \(I = 0\), cas que l’article mentionne à part.

Contrôle numérique de la concavité. En 2 000 points tirés au hasard (graine fixe), avec des directions admissibles aléatoires, la dérivée seconde par différences finies est toujours négative (la plus grande vaut −1,8 × 10−3) et s’écarte de la formule analytique d’au plus 1,3 × 10−4 en valeur relative.

2. Les polygones : conclusion juste, raison différente

La section 3 décrit un polygone à \(m\) sommets par ses \(m\) longueurs et ses \(m\) angles, soit \(N = 2m\) caractères, longueurs et angles restant des caractères distincts (le polygone régulier a « seulement deux caractères distincts, n = 2 »). Nous retrouvons ses valeurs : triangle quelconque 2,585 bits, quadrilatère quelconque 3 bits, pentagone quelconque 3,322 bits (l’article imprime 3.321, valeur tronquée), polygones réguliers 1 bit.

Soit \(K\) l’espèce d’un caractère tiré au hasard (longueur ou angle) : elle vaut « longueur » avec probabilité exactement \(1/2\). Par la règle de chaîne,

$$ I = H(K) + H(X \mid K) = 1 + \tfrac12 H_{\text{côtés}} + \tfrac12 H_{\text{angles}} \;\ge\; 1 \text{ bit}, $$

avec égalité si et seulement si toutes les longueurs sont égales et tous les angles égaux, c’est-à-dire pour le polygone régulier. Le script vérifie l’identité sur neuf formes, dont le triangle isocèle (1,918295834 bit), le rectangle et le losange (1,5 bit).

La contrainte géométrique change donc la portée de l’objection. Elle sauve le résultat de la section 3 : parmi les polygones à \(m\) côtés, le régulier a bien l’entropie la plus basse. Mais l’équation (14) n’y est pour rien. Dès que \(n = 2\), la seule répartition géométriquement possible est \((m, m)\) ; l’accord avec « \(g_i = N/n\) » est automatique, et ce qui fait baisser l’entropie est la diminution de \(n\) (de 6 à 2 pour le triangle), non l’égalité des multiplicités. Le lemme général de la section 2 reste faux, et le résultat sur les polygones, une propriété de la mesure choisie, ne dit rien d’une tendance physique vers le minimum.

3. Vopson (2023) : l’égalité \(dS = \delta Q/T\) ne vaut que pour une transformation réversible

Nous n’avons pas pu lire l’article de 2023 (AIP Advances 13, 105308) lui-même : l’éditeur et le dépôt de Portsmouth refusent l’accès automatisé (voir `sources.md`). Sa dérivation est connue par le résumé qu’en donne l’auteur en 2025 : l’univers « n’échange de chaleur avec rien » ; la relation \(dQ = T\,dS\) a été utilisée ; « on en a conclu que dS = 0 » ; le terme d’entropie manquant serait celui de l’information, d’où \(\partial S_{\text{info}}/\partial t = -\partial S_{\text{phys}}/\partial t \le 0\).

L’inégalité de Clausius donne seulement \(dS \ge \delta Q/T\), avec égalité pour une transformation réversible. Contre-exemple : une mole de gaz parfait dans une enceinte rigide et isolée se détend dans le vide jusqu’à doubler son volume. \(Q = 0\), \(W = 0\), donc \(\Delta U = 0\) et la température ne change pas ; l’entropie étant une fonction d’état, on la calcule sur le chemin réversible isotherme de mêmes états extrêmes :

$$ \Delta S = n R \ln\frac{V_2}{V_1} = R \ln 2 \quad\text{alors que}\quad \int \frac{\delta Q}{T} = 0 . $$

soit 5,763146322 J/K,

avec \(R = k_B N_A\) = 8,31446261815324 J·mol⁻¹·K⁻¹, produit de deux constantes exactes du SI. Les notes du MIT le disent : « l’égalité entre ΔS et dQ/T ne vaut que pour une transformation réversible ». Une absence d’échange de chaleur n’impose donc pas une entropie constante, et il n’y a rien à compenser. Vopson l’admet en 2025 : sans réversibilité, « on ne peut plus en déduire que dS = 0, ce qui annulerait la nécessité d’introduire l’entropie informationnelle ».

4. La réparation de 2025 : un signe qui ne suit pas des équations

Vopson (IPI Letters 3(1), N6-N9, 10 janvier 2025) sépare la chaleur en deux parts, \(dQ_{\text{phys}} + dQ_{\text{info}} = 0\) (équation 5), écrit \(dQ_{\text{phys}} = T dS_{\text{phys}} - dU^{\text{loss}}_{\text{phys}}\) (équation 8), puis « suppose une relation semblable pour le processus informationnel » (équation 9). Il obtient (équation 11)

$$ dS_{\text{info}} = -\,dS_{\text{phys}} + \frac{dU^{\text{loss}}}{T}, \qquad dS_{\text{phys}} \ge 0,\quad dU^{\text{loss}} \ge 0 , $$

la positivité des pertes étant écrite dans l’article (« dULoss est une quantité positive »). Quatre points.

  1. Le signe est indéterminé. Le membre de droite est la différence de deux termes positifs. \(dS_{\text{info}} \le 0\) exige \(dU^{\text{loss}} \le T\,dS_{\text{phys}}\), que rien n’établit. Le script tabule les cas : pour \(dS_{\text{phys}} = 1\) et \(dU^{\text{loss}}/T = 2\), \(dS_{\text{info}}\) = 1, positif. Rapportée au temps, (11) donne \(\dot S_{\text{info}} = -\dot S_{\text{phys}} + \dot U^{\text{loss}}/T\), où le taux de pertes \(\dot U^{\text{loss}} \ge 0\) s’oppose à la conclusion.
  2. L’équation (12) mélange deux opérations. Les deux premiers termes y sont divisés par \(dt\), le troisième dérivé par \(d/dt\) comme si la perte infinitésimale \(dU^{\text{loss}}\) était une fonction du temps. C’est ce qui fait apparaître, en (13), la variation du taux de pertes au lieu du taux de pertes lui-même.
  3. Même en admettant (13), la conclusion repose sur des hypothèses. Le deuxième terme n’est négatif que si « la perte diminue avec le temps », ce qui est posé, pas démontré. Le troisième est positif (\(T\) décroît) ; l’argument selon lequel il « ne peut compenser » car il « varie en 1/T² » ne compare pas des grandeurs : le rapport du troisième au deuxième terme vaut \(-\,dU^{\text{loss}}\,\dot T / (T\, \tfrac{d}{dt}dU^{\text{loss}})\), qui dépend des taux et non d’une puissance de \(T\). Enfin, l’hypothèse « T = constante » contredit la phrase précédente du même texte (« T doit décroître avec le temps ») et n’est justifiée par aucun calcul.
  4. Le terme informationnel est postulé. Ni \(Q_{\text{info}}\), ni \(S_{\text{info}}\) de l’univers, ni \(U^{\text{loss}}_{\text{info}}\) ne reçoivent de définition indépendante ou de mesure ; l’équation (9) est une hypothèse, annoncée comme telle.

La phrase finale, « la seconde loi de l’infodynamique se déduit à l’identique, que le processus soit réversible ou irréversible », n’est donc pas démontrée par l’article.

5. Compression : trois affirmations à ne pas confondre

Source à quatre symboles de probabilités \(1/2, 1/4, 1/8, 1/8\) : entropie \(H\) = 1,75 bit. Le code préfixe \(0, 10, 110, 111\) est injectif et décodable sans ambiguïté ; nous calculons l’entropie sur la loi des mots de code réellement émis (le script du tiers dont nous sommes partis recopiait l’entropie d’entrée, ce qui aurait masqué une perte) : 1,75 bit. Sur les 64 messages de trois symboles, l’entropie est de 5,25 bits avant comme après codage. Une application injective conserve les probabilités, donc l’entropie des messages complets.

Ce qui change, c’est la longueur : 1,75 bit par symbole au lieu de 2 pour un code de longueur fixe. L’entropie par bit émis augmente même, de 0,875 à 1 : dans le flux compressé, 0 et 1 sont équiprobables (fréquence des 1 : 1/2). Compresser sans perte n’abaisse donc pas l’entropie de l’information ; cela la rend plus dense.

Seul un codage non injectif la réduit. En confondant les deux symboles rares (\(c, d \mapsto 11\)), l’entropie de la sortie tombe à 1,5 bit, et 0,25 bit d’information est définitivement perdu : on ne sait plus lequel des deux a été émis.

D’où trois affirmations distinctes :

  1. une quantité informationnelle diminue : fait mesurable, qui demande une définition de la quantité et une mesure ;
  2. il existe une compression : propriété d’un codage, qui n’implique pas la précédente (sans perte, l’entropie des messages est conservée) ;
  3. un simulateur optimise son calcul : hypothèse sur une cause, qui n’est impliquée ni par 1 ni par 2. Pour qu’une observation la favorise, il faudrait montrer qu’elle est plus probable avec un simulateur que sans ; aucun des articles examinés ne calcule ce rapport.

6. Campbell et al., Wolpert : ce qu’ils affirment réellement

Campbell, Owhadi, Sauvageau et Watkinson (« On testing the simulation theory », arXiv:1703.00058, 2017) « décrivent des expériences conceptuelles de dualité onde-corpuscule destinées à tester la théorie de la simulation », sous l’hypothèse qu’un simulateur aux ressources finies ne « rendrait » le réel qu’au moment de l’observation. Ils écrivent : « nous ne pouvons pas prédire le résultat des expériences proposées ». Ce sont des protocoles, pas des résultats ; nous n’avons trouvé aucun résultat de ces expériences publié avec comité de lecture.

Wolpert (« Implications of computer science theory for the simulation hypothesis », arXiv:2404.16050, version 5 du 19 mars 2026) démontre, par le second théorème de récursion de Kleene, qu’il est « mathématiquement possible » que nous soyons une simulation, y compris exécutée par nous-mêmes. Il précise ne s’intéresser qu’à « la possibilité logique » d’un tel système, sans examiner s’il en existe un « dans notre univers ». Un résultat de possibilité n’est pas un indice.

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